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1、设f(a)<0而f(b)>0定义集合A={x|f(x)<0, x∈[a,b]}, A是有界的，也是不空的，这样A有一个上确界ξ。

2、然后先要证明 ξ∈(a,b)，这个只需要考虑函数的连续性的定义，这是一个极限，f(a)<0和f(b)>0作为两个极限值，利用极限的性质就可以了然后取A中的一列数{xn}，令xn→ξ, (n→∞)，由f(xn)<0知f(ξ)=limf(xn)≤0最后说明不可能是 f(ξ)<0，因为根据f(x)在ξ的连续性，若f(ξ)<0，在ξ的一个邻域中都有f(x)<0，这与ξ作为A的上确界相矛盾所以f(ξ)=0。

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